ریاضی دوره راهنمایی

^{اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.}

در نتیجه:

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3⁻⁵ = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/3⁵.

خواص

مهمترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 2³ = 8 است در حالی که 3² = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 2³ به توان چهار برابر است با 8⁴ یا 4096، در حالی که 2 به توان 3⁴ برابر است با 2⁸¹ یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352

توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10⁶ برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 10⁸ نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 10⁸. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 10³ = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند زیر در کامپیوتر مقادیر 2ⁿ را می‌توان برای یک متغیر n بیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: 0ⁿ = 0.

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت 0⁻ⁿ تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: 0⁰ = 1.

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که 0⁰ تعریف نشده‌است.)

توان‌های منفی یک

توان منفی یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای منفی یک فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: (−1)²ⁿ⁺¹ = −1

اگر نمای منفی یک زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: (−1)²ⁿ⁺² = 1

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

• عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
• لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

و ریشه nام a نامیده می‌شود:

برای مثال: 8^1/3 = 2. حالا می‌توانیم توان m / n را به صورت زیر تعریف کنیم:

برای مثال: 8^2/3 = 4.                      

" به نقل از ویکی پدیا" 

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان با نماهای صحیح

نماهای صحیح مثبت

ساده ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان 5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.

به طور قراردادی، a² = a×a را مربع، a³ = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 3² «مربع سه» و 3³ «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a⁰ = 1 و سایر توان‌ها را به صورت aⁿ⁺¹ = a·aⁿ بنویسیم

نماهای صفر و یک

3⁵ را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در همل ضری عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

• هر عدد به توان یک برابر خودش است.

• هر عدد به توان صفر برابر یک است.

 ^{رابطه ي بالا زماني درست است كه پايه صفر نباشد.}

^{تا اینجا برای امروز کاقیه / اگر خدا خواست مابقی مطالب برای فردا./// خدا نگهدار------------- مطالب بالا به نقل از ویکی پدیا.}

طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی كه تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان كند است كه حتی پر سرعت‌ترین كامپیوتر های كنونی نیز نمی‌توانند كمك چندانی در شكار این اعداد شگفت انگیز كنند.

اعداد اول بر طبق تعریف اعدادی هستند كه تنها به ‪ ۱‬و بر خودشان تقسیم پذیرند. به عنوان نمونه اعداد ‪ ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹‬اعداد اول كمتر از ‪۲۰‬ در سلسله اعداد طبیعی هستند. اما هرچه در این سلسله پیش تر برویم اعداد اول نایاب تر می‌شوند.

بطوریكه اگر چندین میلیون بار به سرعت كامپیوتر های كنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی كه تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد.

ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آیا عدد اول است ؟ - اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت كامپیوتر. -
اما یك گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند كه در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند كه ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند.

مانیندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawal‬و دانشجویانش نیراج كایال ‪Neeraj‬ ‪ Kayal‬و نیتین سكسنا ‪ Nitin Saxena‬در موسسه تكنولوژی كانپور مدعی شده‌اند كه در آستانه تكمیل آزمونی هستند كه اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌كند. این آزمون در صورتی كه تكمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان كنونی به بار آورد.

درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبكه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز كردن پیامها به انجام می‌رسد.

اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید كه دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است.

اما اگر روش این محققان هندی تكمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت.

سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱‬كارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام كرد كه مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یكی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید.

اعداد اول به یك معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌كنند كه اتمها در ساختار بنای كیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند. به نقل از:
www.ictna.ir

همانطور که همکاران عزیز می دانند یکی از شرایط معلم موفق ،داشتن اطلاعات و معلومات بیشتر از کتاب می باشد، بهر حال کتاب درسی هر پایه در حد دانش آموزان آن پایه می باشد و این نباید معلم را در چارچوب کتاب محدود کند . چرا که در اینصورت علاوه بر ضعف روز افزون معلم، دانش آموزان قویتر کمتر از معلم تاثیر می پذیرند و این یک فاجعه است.

در همین راستا در این وبلاگ که مرتبط با درس ریاضی پایه راهنمایی است سعی در این است که معلمان محترم بیشتر و عمیق تر با مفاهیم درسی آشنا گردند. در فرصتهای مناسبتر با زندگی ریاضیدانان بزرگ آشنا شوند. مطالب مندرج در پست قبلی دقیقا بر اساس همین نکات است.

لازم بذکر است جهت پربارتر شدن این وبلاگ و اینکه این وب نوشته نوپا می باشد ارسال نظرات اصلاحی شما بسیار راهگشاست. موفق باشید./ 

ERATOSTEN

بابليان و مصريان ، به رياضييات به عنوان يك وسيله ي مفيد براي تعيين حدود زمين و محاسبه ي ماليات و حسابداري نگاه مي كردند. اما يونانيان كه در مطالعه ي رياضييات سر آمد شدند ، زيبايي و جذابيتي در هندسه يافتند و هندسه را به خاطر خودش دنبال كردند.

صد و هشتاد درجه: به مرور ، توجه يونانيان باستان به انديشه هاي بزرگ رياضي جلب شد. براي آنها ، دانستن اين كه مجموع زواياي يك مثلث ۱۸۰ درجه است، كافي نبود. آنها مي خواستند راهي براي اثبات اين مطلب كه در هر مثلثي ، صرفنظر از اندازه ي آن ، مجموع زوايا ۱۸۰ درجه است، بيابند.

مصريان و زاويه قائمه: با استفاده از زاويه هاي قائمه ، مصريان توانستند، تغييرات مساحت زمين هاي مجاور نيل را محاسبه كنند( هر سال سيل، باعث از بين رفتن ساحل هاي جديد مي شد.)

مساحت زمين ماليات سالانه آن سال را تعيين مي كرد . از دست دادن زمين به معناي ماليات كمتر و به دست آوردن زمين  مساوي ماليات بيشتر بود. مصريان زاويه هاي قائمه را با گره زدن طناب ها ايجاد مي كردند. هر طولي از طناب كشيده و داراي گره هايي ( متساوي الفاصله) كه به نسبت ۳:۴:۵ قرار دارند، باعث ايجاد زاويه قائمه مي شود.